Vítejte v The Riddler. Každý týden předkládám problémy související s věcmi, které jsou nám zde drahé: matematika, logika a pravděpodobnost. Každý týden jsou nabízeny dvě hádanky: Riddler Express pro ty z vás, kteří chtějí něco kousavého, a Riddler Classic pro ty z vás, kteří mají rádi pomalý pohyb hádanek. Odešlete správnou odpověď na kteroukoli z nich a můžete se dostat do dalšího sloupce. Počkejte prosím do pondělí a sdílejte své odpovědi veřejně! Pokud potřebujete nápovědu nebo máte oblíbenou hádanku, která sbírá prach v podkroví, Najděte mě na Twitteru Nebo mi pošlete email.
Riddler Express
Na Velikonoce se vy a vaše rodina rozhodnete ozdobit 10 krásných vajíček. Vytáhne z lednice karton čerstvých vajec a vyjme 10 vajec. V kartonu zbyly dvě vejce a ty je dej zpět do lednice.
Další den karton znovu otevře, aby zjistila, že se pozice vajíček nějak posunuly – nebo si to alespoň myslí. Možná, že velikonoční zajíček slídil po vaší lednici?
12 otvorů v kartonu je uspořádáno v symetrické řadě 6×2 při otočení o 180 stupňů a vejce jsou od sebe k nerozeznání. Kolik různých způsobů vložit dvě vejce do tohoto kartonu? (Poznámka: Umístění dvou vajec do dvou otvorů zcela vlevo by mělo být považováno za stejné jako umístění do dvou otvorů zcela vpravo, protože mezi těmito uspořádáními můžete přepínat otočením kartonu o 180 stupňů.)
Kredit navíc: Předpokládejme, že místo dvou zbývajících vajec máte jiný nerozeznatelný počet vajec mezi nulou a 12. Kolik různých způsobů existuje, jak tato vejce vložit do kartonu?
Riddler Classic
Od Nis Jørgensen přichází pikareskní záhada kapitána a posádky:
Jste kapitánem tříčlenné posádky (bez vás): Geordie, Sydney a Alandra. Vaše loď byla zajata dříve neznámým nepřítelem, který se rozhodne vrátit vaši loď, pokud vyhrajete jednoduchou hru.
Každému ze tří členů posádky bude přiděleno číslo mezi nulou a jedničkou, vybrané náhodně a standardizované v tomto rozsahu. Jako kapitán je vaším cílem uhodnout, kdo má největší číslo.
Háček je v tom, že každému členovi posádky můžete položit pouze otázku ano nebo ne. V závislosti na odpovědi na otázku, kterou položíte prvnímu členovi posádky, můžete aktualizovat otázku, kterou položíte druhému. Podobně můžete na základě odpovědí na první dvě otázky aktualizovat třetí otázku, na kterou se ptáte. Nakonec ale stejně musíte uhodnout, který člen posádky má nejvíc.
Jaká je vaše optimální strategie a jaké jsou vaše šance na získání vaší lodi zpět?
Další řešení pro Riddler Express
Gratulujeme Sweet Tea Dorminy z Greenville v Jižní Karolíně, vítězi minulého týdne Riddler Express.
Express minulý týden představil středoškolák Max Misterka, vítěz soutěže 2023 Regeneron Science Talent Search. Max a já jsme hráli hru, kde jsme si tajně vybrali číslo. Zavoláme na Maxovo číslo M A moje číslo z. Poté, co jsme oba odhalili naše čísla, to bylo Maxovo skóre Mzzatímco můj výsledek zM. Kdo získá nejvyšší skóre, vyhrává.
Když jsme nedávno hráli, vybrali jsme si s Maxem různá celá čísla. Překvapivě jsme remizovali – vítěz nebyl! Jaká čísla jsme zvolili?
Protože jsme s Maxem remizovali, to znamená celá čísla M A z Rovnost vyhovuje Mz = zM. odběrem M-tý a z– To vám dalo kořeny na obě strany M1 /M = z1 /z. V tuto chvíli stálo za to se na práci podívat blíže F(X) = X1 /X. Ostatně po M1 /M = z1 /z Znamená totéž jako mít F(M) = F(z).
Tato funkce je zvýšena pro malé hodnoty Xk dosažení maximální hodnoty, když X Bylo to asi 2,718 (tj H). Po tomto maximu funkce navždy klesala, asymetricky se blížila k 1. Protože funkce rostla a poté klesala, bez další změny směru mezi tím, znamená to buď M nebo z musí být menší než Hzatímco druhé číslo mělo být větší než H. Řekněme, že ano M Počet byl nejmenší.
V tuto chvíli nebylo mnoho možností: M Musí být buď 1 nebo 2. Pokud M byla 1, pak potřebujete 1z = z1Což znamená z To se také rovnalo 1. Protože řekl hádanku M A z byly odlišné, nebylo to schůdné řešení. -li M bylo místo 2, pak potřebujete 2z = z2. Tato rovnice má samozřejmě dvě řešení: z = 2 (což opět nepřineslo zřetelná čísla) a z = 4. Takže jediná dvě celá čísla, která jsem si mohl vybrat, byly Max a 2 a 4jako je 24 = 42.
Abyste získali extra kredit, museli jste analyzovat další kolo hry, kde jsme s Maxem vybrali kladná čísla, která nemusela být nutně celá. Řekl jsem Maxovi své číslo, aniž bych znal jeho, a v tu chvíli mi řekl, že zápas byl opět nerozhodný. Odpověděl jsem: „Aha, to znamená, že jsme museli zvolit stejné číslo!“ Jaké číslo jsme zvolili?
Matematicky to znamená F(M) = F(z) to naznačovalo M a z byly stejné. za jakoukoli hodnotu M mezi 1 a HDošlo k návratu z více než H Takové to F(M) = F(z). tak pro F(M) = F(z) navrhnout M = z, Vzhledem k tomu, že byli alespoň 1, oba M A z Muselo to být H. Alternativně, jak uvádí řešení Fernanda Mendeze, obě mohou být libovolné kladné číslo menší nebo rovno 1.
Tváří v tvář středoškolskému studentovi, který byl na vrcholu své třídy v matematice a přírodních vědách, mohu říci jen to, že jsem rád, že jsem v obou případech, kdy jsme tuto hru hráli, remizoval (místo prohry).
Řešení nejnovějšího Riddler Classic
Gratulujeme Jasonu Weinribovi z Phoenixu, AZ, který minulý týden vyhrál Riddler Classic.
Minulý týden jsem se seznámil s hrou podobnou hře Sudoku Hvězdná bitva. V pětihvězdičkové verzi hry se snažíte vyplnit mřížku 21×21 hvězdičkami podle určitých pravidel:
- Každý řádek musí obsahovat přesně pět hvězdiček.
- Každý sloupec musí obsahovat přesně pět hvězdiček.
- Každá vybraná oblast tučně musí obsahovat přesně pět hvězdiček.
- Nemohou existovat dvě sousední hvězdy vodorovně, svisle nebo diagonálně.
Například zde byl vyřešený gamepad:
V tomto příkladu se hvězdy zdály být rovnoměrně rozmístěny po celé desce, i když tam byly určité mezery. Konkrétně toto fórum mělo 20 prázdných políček 2×2, zvýrazněných níže:
Některé z těchto oblastí se binárně překrývaly ve dvou – nicméně jsou stále považovány za odlišné.
Jaký je minimální a maximální počet 2×2 prázdných polí ve vyřešené desce Hvězdné bitvy?
Na první pohled to vypadalo jako poměrně složitá kombinatorická hádanka nebo možná něco, co by vyžadovalo hodně simulací. Ale jak se ukázalo, můžete na to přijít pomocí nějaké relativně jednoduché algebry!
Řešitel N. Scott Cardell začal získáním pozemku. Každá z 21 řad obsahovala pět hvězdiček, což znamená, že celkem bylo 105 hvězd. Mezitím je jich 202nebo 400, celkem dva na dva čtverce v mřížce. Protože hvězdy nemohou sousedit, znamená to, že každý čtverec 2×2 obsahuje nejvýše jednu hvězdu.
Nyní se hvězda na jednom ze čtyř rohů objevila přesně v jednom z těchto polí 2×2, zatímco hvězda na jednom okraji se stala na dvou takových polích a hvězda na vnitřní straně mřížky se stala na čtyřech takových polích. Pokud existují C rohové hvězdy, H Okrajové hvězdy a já Vnitřní hvězdy, počet čtverců byl 2 x 2, na kterých byla hvězda C +2H +4já. Protože je celkem 400 čtverců 2×2, počet čtverců bez Hvězda byla 400 – (C +2H +4já).
Protože celkový počet hvězd byl 105, tzn C + H + já = 105 resp já = 105 – H – C. Navíc, protože každá hrana (stejně jako jakýkoli jiný řádek nebo sloupec) má pět hvězdiček, přičemž rohové hvězdy se počítají za dvě hrany, H +2C = 20 resp H = 20-2C.
V tomto okamžiku můžete algebraicky eliminovat proměnné z výrazu pro počet prázdných čtverců 2 x 2, 400 – (C +2H +4já). Doručení 105 – H – C na já dal ti 3C +2H – 20. Nakonec připojte 20-2C na H dal ti 20- C.
Po vší té práci to byl překvapivě jednoduchý výsledek. Chcete-li zjistit počet prázdných políček 2 x 2, stačí spočítat počet hvězd, které byly ve čtyřech rozích, a odečíst to od 20. Jistě to bylo v souladu s vyřešenou hrou Star Battle. V původní hádance: V rohu nebyly žádné hvězdy a bylo tam 20 prázdných políček 2×2.
Jaká je tedy odpověď? Minimální počet prázdných políček byl dva na dva 16, kdy čtyři rohy obsahovaly hvězdy. byla max 20, kdy byly čtyři rohy bez hvězd. (Podle mého názoru se tato hádanka ukázala být jednodušší, než se zpočátku zdálo – na rozdíl od samotné Star Battle, která je mnohem obtížnější, než se zdá).
Chcete více hádanek?
No, nemáte štěstí? Existuje celá kniha plná nejlepších záhad z této rubriky a některých dosud neviděných útržků. Jmenuje se „Hádankář“ a je tomu tak Nyní v obchodech!
Chcete odeslat hádanku?
Napište e-mail Zachu Wissner-Grossovi na adresu [email protected].
„Přátelský průkopník popkultury. Hodně padá. Sociální média geek. Obecný fanatik do kávy. Televizní nadšenec. Potížista.“
